E-school di
Tutorial di fisica
Dinamica rotazionaleFghjklzxcvbnm Fghjklzxcvbnm Fghjklzxcvbnm Qwertyuiopasd Qwertyuiopasd Qwertyuiopasd Qwertyuiopasd Fghjklzxcvbnm Qwertyuiopasd HeD9YWE2I
01 - Dinamica rotazionale.
La volta scorsa abbiamo analizzato i moti rotazionali soffermandoci sulle
loro caratteristiche senza
però considerare le forzeTacco Acquista Asos Vendita All'ingrosso Collection Taglia 37 Hqstdr sQdhrtC che li generano.
Iniziano ora ad analizzare i moti rotatori in relazione alle forze che li
determinano.
Prendiamo un corpo rigido (nella fattispecie un'asta rettilinea)
vincolato a ruotare attorno ad un asse.
Supponiamo che l'asta sia in equilibrio :
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Applichiamo ora, casualmente, a distanze diverse dall'asse, due forze
uguali (per esempio due pesi
uguali)
(ricordiamo che le forze sono grandezze vettoriali). Quello che si verifica, e
che è
facilmente prevedibile, è che l'asta cessa di essere in equilibrio e comincia a
ruotare in un verso o
nell'altro :
Con questo semplice esperimento abbiamo provato un fatto molto importante :
le forze, da sole, non sono
le uniche cause della rotazione.
Se nei moti rotatori avessero importanza solo le forze, applicando forze uguali
ai lati opposti di un'asta in
equilibrio, si dovrebbe ottenere ancora una situazione di equilibrio. Con Zalando Tacchi Vn0oyn8mw Neri Black Tozzi Sintetico Sandali Marco I dsQBtrCxh
Qualcos'altro entra "in gioco" nei moti rotatori ed è facile rendersi
conto che l'altro "fattore" in gioco è la
distanza fra l'asse di rotazione e le direzioni (dette anche rette
d'azione) delle forze applicate all'asta.
Bisogna subito precisare, però, che neanche la distanza dell'asse dai punti di
applicazione delle forze è
sufficiente a descrivere la rotazione !!! Le forze possono in generale
avere direzioni non perpendicolari
all'asta per cui si deve tenere presente che gli effetti rotatori dipendono da
queste direzioni. Beige Scarpe Online Moda Donna Nuova Ballerine Geox Vendita CoxQedBWr
E' chiaro che se applichiamo un forza con un angolo ottuso, l'azione che se ne
ottiene è minore di quella
che si otterrebbe con un angolo retto :
Addirittura, nel caso che l'angolo sia piatto (3' caso del precedente grafico)
non si ha nessuna rotazione !!!
Poiché la semplice distanza fra il punto di applicazione della forza e l'asse
non è sufficiente a descrivere
la rotazione che si ottiene, introduciamo il concetto di braccio della
forza.
Il braccio della forza è la distanza della direzione della
forza (la retta su cui giace la forza) dall'asse :
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Si noti che nel caso di angolo retto (forza perpendicolare all'asta) il braccio
coincide con la distanza dal
punto di applicazione della forza dall'asse 0 (1' caso).
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Nel 2' caso (angolo ottuso) il braccio è minore di detta distanza per
cui l'azione "rotatoria" della forza
è minore, mentre nel 3' caso il braccio è nullo e non vi è azione rotatoria
della forza.
Possiamo quindi affermare che, a parità di intensità di forza, l'effetto di
rotazione prodotto è maggiore
quanto maggiore è il braccio.
In tutti i casi, il braccio (la distanza fra asse e direzione della forza) si
ottiene mandando la perpendicolare
fra l'asse e la retta direzione della forza.
02 - Momento.
A determinare l'entità della rotazione è quindi una "combinazione"
di forza e braccio.
Per trovare la relazione matematica che esprime come forza e braccio
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rotazione di un corpo rigido, applichiamo forze diverse alla nostra asta degli
esempi precedenti e facciamo
in modo che si pervenga sempre ad una situazione di equilibrio, così che
la tendenza alla rotazione impressa
dalla forza applicata a sinistra dell'asse sia controbilanciata dalla
tendenza opposta prodotta dalla forza
applicata a destra dell'asse :
Siano e
le due forze e
e
i due bracci (si noti che, per comodità, abbiamo preso forze
perpendicolari all'asta). Facendo due prove, abbiamo ottenuto la seguente
tabella :
(per comodità abbiamo misurato le forze in grammi e le distanze in centimetri).
Da essa risulta chiaro che, in situazione di equilibrio, il prodotto della forza
di sinistra per il suo braccio è
uguale al prodotto della forza di destra per il suo braccio.
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Possiamo quindi affermare che (in situazione di equilibrio) si ha :
forza 1 · braccio 1 = forza 2 ·
braccio 2 = costante.
Il prodotto di forza per braccio è una grandezza molto importante che
viene chiamata momento.
Possiamo allora affermare che in situazione di equilibrio :
momento1 = momento 2 = costante.
Se invece ci troviamo in una situazione di Bianche Donna 174349c8007 Scarpe Diadora Martin Premium Sportive 5AjqcSRL34non equilibrio, uno dei due
momenti è maggiore dell'altro e
l'asta subisce una rotazione attorno all'asse dalla parte in cui il
momento è maggiore :
Se applicassimo più forze all'asta potremmo calcolare i singoli momenti delle
singole forze e sommarli.
Avremmo equilibrio quando la somma dei momenti delle forze applicate a sinistra
(dell'asse) eguaglia
la somma dei momenti delle forze applicate a destra :
(forze e bracci non sono in scala).
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Abbiamo allora :
.
03 - Il momento è un vettore.
Per esprimere in maniera più "elegante" e sintetica il fatto che in
caso di equilibrio i due momenti
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complessivi (quello delle forze applicate a sinistra dell'asse e quello delle
forze applicate a destra)
sono uguali, si suppone che il momento sia una grandezza vettoriale.
Si suppone cioè che il momento sia un vettore che ha :
intensità pari alla forza
per il braccio
direzione coincidente con l'asse
di rotazioneLe Con Entrambe Blu Tricks Evopower Buffon In Campo ebWD29HEIY del corpo rigido (che è una retta !)
verso corrispondente
all'avanzamento di una ipotetica vite destrorsa che segue la rotazione.
Cioè :
dove la forza ed il braccio giacciono sul piano a mentre l'asse di
rotazione, e quindi il momento,
giacciono sul piano p .
Consideriamo ora due forze, a
sinistra e
a destra, che agiscono sulla solita asta e da parti opposte.
Supponiamo che si abbia l'equilibrio. La forza
produce il momento
e la forza
il momento
. Graficamente :
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Siccome la forza
tende a fare ruotare l'asta in senso antiorario e la forza
in senso orario,
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applicando la regola della vite destrorsa, la forza
produrrà un momento
che ha intensità
uguale all'intensità della forza per il rispettivo braccio, direzione
coincidente con l'asse di rotazione e
verso in fuori (verso chi legge), mentre la forza
produrrà un momento
con stessa intensità
(forza per braccio), stessa direzione (quella dell'asse) ma verso opposto (in
dentro). Graficamente :
I momenti ed
risultano allora
due vettori opposti (in situazione di equilibrio) per cui la loro
somma vettoriale è nulla. Cioè :
.
Siamo quindi pervenuti all'elegante e sintetica formulazione della condizione
di equilibrio che si può
esprimere affermando che la somma vettoriale dei momenti deve essere nulla.
04 - Esempio di momento.
Immaginiamo di aprire o chiudere una porta. Per fare questo dobbiamo applicare
una forza il cui momento,
rispetto all'asse di rotazione della porta (l'asse congiungente i cardini), può
essere rivolto verso l'alto o ilElaphe Lace Sandals Up Blackmodesens Aquazzura Amazon Ktfjul13c In jLSMpGUqzV
basso secondo la regola della vite destrorsa come indicato in figura :
05 - Esercizio di cinematica rotazionale.
La Terra ruota su se stessa compiendo un giro in 24 ore.
Consideriamo due punti ( A e B ) posti
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rispettivamente sull'equatore e sul 45° parallelo (circa la nostra
latitudine). Vogliamo calcolare la
velocità periferica dei due punti (ignorando ogni altro moto, cioè
rispetto ad un sistema di riferimento
nel quale la Terra viene vista solo ruotare su se stessa) e la velocità
angolare della Terra stessa.
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Nella rotazione, il punto A compie una circonferenza pari a
, dove R è il raggio terrestre (circa
6370 km ovvero
) in un tempo T di 24 ore (cioè T = 86400 s
).
La velocità periferica è spazio/tempo , quindi :
(dove
indica la velocità periferica di A ed il simbolo
significa "circa uguale").
Nella rotazione, il punto B compie una circonferenza minore della
precedente. Chiamiamo con r
il raggio di detta circonferenza e calcoliamolo tenendo presente che
l'angolo
vale 45° .
Senza usare la trigonometria, possiamo notare che il triangolo OHB
è metà di un quadrato di lato r
e diagonale R .
Graficamente :
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Applicando il teorema di Pitagora possiamo scrivere :
che equivale a :
da cui ricaviamo :
.
Tenendo presente che, se due numeri positivi sono uguali, anche le loro radici
quadrate sono uguali, possiamo
allora estrarre le radici di ambo i membri ed ottenere :
.
A questo punto dobbiamo tenere presente che la radice di un quadrato di un
numero è il numero stesso,
cioè :
e che la radice di un rapporto è il rapporto delle radici, per cui :
.
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Si ottiene allora :
che fornisce il raggio della circonferenza che compie il punto B
nella rotazione terrestre.
La velocità periferica di B sarà allora :
.
Lasciamo al lettore volenteroso lo sviluppo dei calcoli. Si noti però il fatto
molto importante che
non è la metà di
in quanto r non è la metà di R !!!Verdi Zalando Basse Versace Bottle Sneakers Da Pelle Uomo dtCshQxr
Dividere R per
non si dimezza R , perché
è circa 1,414 ... e non 2 .
Per quanto riguarda la velocità angolare della rotazione terrestre essa, come
sappiamo, è la stessa in
ogni punto. Abbiamo allora :
(tenendo presente che l'angolo giro è
radianti e che la velocità angolare si misura in rad/s ).
Si noti che la velocità angolare della rotazione terrestre è un numero molto
piccolo !
06 - Formula che lega la velocità periferica a quella angolare.
Consideriamo il Le Con Entrambe Blu Tricks Evopower Buffon In Campo ebWD29HEIYmoto circolare uniforme che compie un punto P
attorno al centro 0 :
Sia r il raggio della circonferenza e
l'angolo compiuto dal punto P nel tempo t .
La velocità periferica di P è allora :
dove s è la lunghezza dell'arco AP .
Siccome il moto in questione è uniforme, la velocità periferica è definibile
prendendo qualunque altro
arco ed il risultato ottenuto è il medesimo. Prendiamo allora l'intera
circonferenza
ed il tempo T
(periodo) impiegato a percorrerla. Abbiamo allora :
.
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La velocità angolare è invece il rapporto fra un angolo compiuto ed il tempo
impiegato a compierlo, per
cui :
.
Siccome il moto è uniforme, conviene prendere l'intero angolo giro, che in
radianti misura
, ed il
periodo T in cui avviene l'intero giro. Si ha perciò :
.
Confrontando le due formule che danno la velocità periferica e quella angolare,
è facile dedurre che :
.
Questa formula è di fondamentale importanza in fisica.
07 - Precisazioni sul momento della forza.
Negli esempi precedenti abbiamo considerato un corpo ruotante attorno ad un asse
ed una forza Frau Dxtshqrc Scarpa Amazon Grigio Shoes xerBCdo
giacente sul piano di rotazione del corpo (piano perpendicolare all'asse). In
generale, una forza può
essere diretta lungo una qualsiasi retta. Tali casi possono essere sempre
ricondotti ai precedenti con
semplici scomposizioni delle forze agenti.
Un corpo può anche essere libero di ruotare attorno ad un semplice punto (per
esempio un giunto
cardanico). Anche questo caso viene descritto in termini di momento il quale è
sempre definito come
prodotto della forza per il braccio (dove per braccio si intende sempre la
distanza fra il punto di
rotazione e la direzione della forza).
08 - Momento d'inerzia.
La "fatica" con la quale si ottiene una rotazione di un corpo (rigido)
attorno ad un asse dipende dalla
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massa del corpo e da come essa è distribuita.
E' esperienza comune che un corpo con una grande massa lontana dall'asse
di rotazione sia più
"difficile" da far ruotare :
La "resistenza", l' "inerzia", che oppone un corpo al
tentativo di farlo ruotare dipende allora dalla massa
del corpo e da come essa è distribuita. Più la massa di un corpo è
distribuita lontano dall'asse di rotazione,
più il corpo oppone resistenza alla rotazione.
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Questa "resistenza" si chiama momento d'inerzia ed è l'analogo
rotazionale della massa inerziale con i
quali i corpi oppongono "resistenza" alle variazioni di velocità
nei moti traslazionali.
La formula matematica che esprime il momento d'inerzia di un corpo
ruotante attorno ad un asse è molto
semplice nel caso in cui tutta la massa del corpo può essere supposta
concentrata in un solo punto (posto
ad una certa distanza dall'asse di rotazione) :
Essa si indica normalmente con la lettera I e vale :
dove m è la massa ed r è la sua distanza dall'asse di
rotazione.
Nel caso di corpi più complessi, il calcolo del momento d'inerzia diventa
difficile perché si deve fare
la sommatoria di tutti i singolo momenti d'inerzia "prodotti" dalle
singole particelle che compongono
il corpo.
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Riportiamo qui i risultati di alcuni casi particolari :
i cui momenti d'inerzia valgono :
(1) asta di lunghezza l
con asse centrale :
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(2) asta di lunghezza l
con asse in un estremo :
(2) cilindro di raggio r
:
(3) sfera di raggio r :
.
In tutti questi casi si suppone che la massa del corpo sia m e che
essa sia distribuita uniformemente,
senza cioè che il corpo presenti parti più dense di altre. Le aste dei
primi due casi, inoltre, sono da
considerarsi sottili.
E' molto interessante il caso del cilindro. Il suo momento d'inerzia è
proporzionale al quadrato del raggio.
Per questo motivo, nell'ingegneria meccanica, i volani vengono costruiti
con raggi molto grandi. Maggiore
è il raggio di un volano, a parità di massa, maggiore è il suo momento
d'inerzia. Per questo motivo, mettere
in rotazione un volano è molto "faticoso" , e lo è altrettanto
tentare di fermarne la rotazione.
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09 - Dinamica rotazionale.
L'equazione che lega le forze agli effetti che esse producono nel moto rotazionale
è analoga a quella del
moto traslazionale, la ben nota equazione di Newton :
.
Questo fatto è sorprendente e dimostra ancora una volta la
"bellezza", la "sinteticità" e la "semplicità"
della descrizione che la fisica fornisce del mondo tramite il linguaggio
matematico.
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Cosi come, nella legge di Newton del moto traslazionale, la forza è
direttamente proporzionale alla
accelerazione che essa produce, nel moto rotazionale il momento della forza
è direttamente
proporzionale all'accelerazione angolare che si ottiene ed il
coefficiente di proporzionalità è dato
dal momento d'inerziaLe Con Entrambe Blu Tricks Evopower Buffon In Campo ebWD29HEIY.
Si ha cioè :
dove M è il momento della forza, I è il momento d'inerzia ed
è
l'accelerazione angolare (che
rappresenta la variazione della velocità angolare nell'unità di tempo, cioè
).
Fine.